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微积分课程笔记

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前前后后数理基础课也学了好几遍了, 但这些内容不常用就容易忘记. 虽然每次学都会记手写的电子笔记, 但这次我打算记一份能长期维护的印刷体电子笔记, 因为大概不会再需要一板一眼地把这几门最基础的课学一遍了. 我的想法是记重要概念, 术语, 重要思路和技巧, 以及一些易错点, 这样当我忘记内容时能很快知道我需要的是什么, 然后具体推导和习题再看教材就好 💪

教材

  1. 高等数学 同济第七版 上
  2. 高等数学 同济第七版 下
  3. 高等数学习题全解指南 同济第七版 上
  4. 高等数学习题全解指南 同济第七版 下

内容

函数与极限

高等数学的研究对象是变动的量. 所谓函数关系就是变量之间的依赖关系, 极限方法是研究变量的一种基本方法.

极限

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的. 极限方法已称为高等数学中的一种基本方法.

数列的极限

数列: 如果按照某一法则, 对每个\(n \in N\), 对应着一个确定的实数\(x_n\), 这些实数\(x_n\)按照下标\(n\)从小到大排列得到的一个序列\(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}, \dots\)就叫数列.

数列极限定义:

\[ \lim_{ n \to \infty } x_{n}=a \leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists 正整数N, 当n>N时, 有\mid x_{n}-a\mid<\epsilon \]

💡这个定义里的核心是可以任意给定的\(\epsilon\):

  • 只有这样, 不等式\(\mid x_{n}-a\mid<\epsilon\)才能表达出\(x_n\)与\(a\)无限接近的意思
  • \(N\)是随着\(\epsilon\)的给定而选定的
  • 更好理解的说法是, 选定一个以\(a\)为中心的开区间\((a-\epsilon, a+\epsilon)\)后, 对于数列\(\{x_{n}\}\)只有有限个 (不多于\(N\)个) \(\{x_{n}\}\)的项在这个区间外. 如果这个区间可以任意小, 那当然可以说\(x_{n}\)是无限接近\(a\)的.
数列极限的性质
  1. 唯一性
  2. 有界性: 收敛\(\textcolor{red}{\to}\)有界. 比如\((-1)^n\)有界但不收敛.
  3. 保号性
  4. 收敛数列与其子数列间的关系: 如果数列\(\{x_{n}\}\)收敛于\(a\), 那么它的任一子数列也收敛且极限为\(a\). 由此可以得出两个有用推论:
    1. 子数列发散\(\to\)原数列发散
    2. 有两个收敛于不同极限的子数列\(\to\)原数列发散
求数列极限的方法
  1. 根据海涅定理有: \[\begin{cases} \lim\limits_{ x \to x_{0} } f(x)=A \\ \lim\limits_{ n \to \infty } \{x_{n}\}=x_{0} \end{cases} \to \lim_{ n \to \infty } f(x_{n})=A\] \[\begin{align*}\tiny 比如\lim_{ x \to 0 } f(x)=A \to \lim_{ n \to \infty } f\left( \frac{1}{n} \right)=A \end{align*}\]
  2. 单调有界数列必有极限:
    1. 先假设法求出极限值\(a\), 然后想办法证明\(a\)是\(\{x_{n}\}\)的上/下界
    2. 计算\(x_{n+1}-x_{n}\)或\(\frac{x_{n+1}}{x_{n}} (\textcolor{red}{\{x_{n}\}同号})\)证出数列单调 (可能会用到\(a\)是上/下界的条件)
  3. 夹逼法: 用不等式缩放出一大一小两个好求极限且收敛于同一值的数列
  4. 定义法1:
    1. 假设极限存在, 求出\(a\)
    2. 构造出 \[\mid x_{n}-a\mid=k\mid x_{n-1}-a\mid=\dots=k^n\mid x_{0}-a\mid, 0<k<1\]
    3. \(\lim\limits_{ n \to \infty } \mid x_{n}-a\mid=0 \to \lim\limits_{ n \to \infty } x_{n}=a\)
  5. 定义法2: 由\(\mid x_{n}-a\mid<\epsilon\)得\(n\)关于\(\epsilon\)的取值范围, 然后用\(N\)替换\(n\)并向上取整得到\(N=\lceil f(\epsilon)\rceil\)
函数的极限

从数列极限可以引申出函数极限的一般概念: 在自变量的某个变化过程中, 如果对应的函数值无限接近于某个确定的数, 那么这个确定的数就叫在这一变化过程中函数的极限.

极限这个概念的重点就在于这个趋近的过程, 可以认为极限是一个动态的过程. 这个极限是与自变量的变化过程密切相关的, 由于自变量变化过程不同, 函数极限就表现为不同形式 (其中最主要的是下面两种).

函数极限定义1 (自变量趋于无穷大): 正负无穷大极限分别存在且相等.

\[ \lim_{ x \to \infty } f(x)=A \leftrightarrow \lim_{ x \to -\infty } f(x)=\lim_{ x \to +\infty } f(x)=A \]

  • 函数当自变量趋于正无穷大时的极限: (趋于负无穷大时的极限就是把范围换成\(\textcolor{yellow}{x<-X}\)) \[ \lim_{ x \to +\infty } f(x)=A \leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists X>0, 当\textcolor{yellow}{x>X}时, 有\mid f(x)-A\mid<\epsilon \]
  • 无穷大不是具体的数, 本身就是一种极限
  • 无穷大指的是绝对值大于任何具体的数, 因此同时包括正无穷大和负无穷大.

函数极限定义2 (自变量从两侧趋于有限值): 左右极限分别存在且相等.

\[ \lim_{ x \to x_{0} } f(x)=A \leftrightarrow \lim_{ x \to -x_{0} } f(x)=\lim_{ x \to +x_{0} } f(x)=A \]

  • 函数左极限定义 (自变量仅从左侧趋于有限值): 右极限就是把范围换成\(\textcolor{yellow}{x_{0}<x<x_{0}+\epsilon}\) \[ \lim_{ x \to x_{0}^- } f(x)=A \leftrightarrow \forall\epsilon>0, \exists\delta>0, 当\textcolor{yellow}{x_{0}-\delta<x<x_{0}}时, 有\mid f(x)-A\mid<\epsilon \]
  • \(\lim\limits_{ x \to x_0 }f(x)\)是否存在和\(f(x_{0})\)是否存在没有关系
函数极限的性质

参照数列极限的性质可以得到相应的函数极限性质, 同样由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有不同形式.

  1. 唯一性: 如果\(\lim_{ x \to x_0 } f(x)\)或\(\lim_{ x \to \infty } f(x)\)存在, 则此极限唯一. 因此: \[\begin{align*}&\lim_{ x \to +\infty } e^x=+\infty, \lim_{ x \to -\infty } e^x=0 \to \textcolor{pink}{\lim_{ x \to \infty } e^x不存在\ (\lim_{ x \to \infty } e^{\frac{1}{x}}同理)} \\ &\lim_{ x \to +0 } \frac{\sin x}{\mid x\mid}=1, \lim_{ x \to -0 } \frac{\sin x}{\mid x\mid}=-1 \to \textcolor{pink}{\lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{\mid x\mid}不存在} \\ &在x=0附近\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}是无界量, 在(-\infty, +\infty)范围振荡\ (因此不是无穷大量) \to \textcolor{pink}{\lim_{ x \to 0 } \frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}不存在} \\ &\tiny{(可以通过找几个收敛于不同极限的子数列来反证函数不收敛)} \end{align*}\]
  2. 局部有界性
  3. 局部保号性
  4. 函数极限与数列极限的关系 (海涅定理): \[\lim_{ x \to x_{0} } f(x)=A \leftrightarrow \begin{cases} \textcolor{red}{\forall \{x_{n}\}}, \lim\limits_{ n \to \infty } \{x_{n}\}=x_{0}, f(x)定义域内 \\ \lim\limits_\textcolor{pink}{n \to \infty} f(x_{n})=A \end{cases} \] 💡\(x\)是变量而\(x_n\)只是具体的数
两个重要极限

\(\lim\limits_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{x}=1\)

\(\lim\limits_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x=e\)

求函数极限的方法
  1. 化简
    1. 提出极限存在但不为0的因式
    2. 考虑\(t=\frac{1}{x}\)倒代换
    3. 无穷小量替换 (只能以给整个式子乘以值为1的\(\frac{f(x)}{g(x)}\)的方式):
      • \(x\to 0\)
        • \(a^x-1\sim x\ln a\)
        • \(1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2\)
        • \(\ln(x+\sqrt{ 1+x^2 })\sim x\)
      • \(x\to 1\)
        • \(\ln x\sim x-1\)
  2. 判断类型
    1. 直接背公式:
      • \(\lim\limits_{ x \to 0 } x^x=0\)
      • \(\lim\limits_{ n \to \infty } \sum\limits^n_{i=1}f\left( \frac{i}{n} \right) \frac{1}{n}=\int^1_{0} f(x) \, dx\)
      • \(\lim\limits_{ x \to a } \frac{f(x)}{g(x)}存在\to \lim\limits_{ x \to a } \frac{f(x)}{g(x)}(x-a)=0\)
      • \(\lim\limits_{ x \to a } \frac{f(x)}{g(x)}=0\to \lim\limits_{ x \to a } f(x)=0\)
    2. 有反三角函数直接泰勒展开
    3. 有取整必然用夹逼法
    4. 有根式相减先有理化
    5. 七种未定式
      1. \(\frac{0}{0}/\frac{\infty}{\infty}/0 \cdot \infty\)
        1. 洛必达 (结果存在或为\(\infty\)时才有效)
        2. 泰勒展开
        3. 夹逼法
      2. \(\infty-\infty\): 有理化/倒代换/通分
      3. \(\infty^0/0^0\): \(\lim u^v=e^{\lim v\ln u}\to e^{0\cdot \infty}\)变成第一种
      4. \(1^\infty\): (慎用) \(\lim u^v=e^{\lim (u-1)v}\to e^{0\cdot \infty}\)变成第一种

函数

函数的几种特性
  1. 有界性
  2. 单调性
  3. 奇偶性
  4. 周期性 设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\). 如果存在一个正数\(T\), 使得对于任意\(x \in D\)有\((x \pm T) \in D\), 且 \[f(x+T)=f(x)\] 恒成立, 则\(f(x)\)为周期函数, \(T\)称为\(f(x)\)的周期. 通常我们说周期函数的周期指的是最小正周期.
一些函数

狄利克雷 (Dirichlet)函数:

\[ D(x)=\begin{cases} 1, x \in Q, \\ 0, x \in Q^c. \\ \end{cases} \]

\(Q\)是有理数集, \(Q^c\)是无理数集. 易证任何正有理数\(r\)都是它的周期. 因为不存在最小的正有理数, 所以狄利克雷函数没有最小正周期.

初等函数: 以下五类函数统称为基本初等函数, 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成并可以用一个式子表示的函数, 称为初等函数.

  • 幂函数\(y=x^ \alpha\)
  • 指数函数\(y=a^x\)
  • 对数函数\(y=\log_{a}x\)
  • 三角函数
  • 反三角函数
函数的连续性

==TODO==

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